8.18 ボース統計とフェルミ統計の起源

目次 ／ 第8章 エネルギー糸理論が挑むパラダイム (V5.05)

導入

本節は、ある励起が同じモードを進んで共有し（ボース的外観）、別の励起はそれを避ける（フェルミ的外観）理由を、ひとつの物理的イメージで説明します。従来の教科書的な語りは抽象的になりがちで、二次元系や複合粒子、境界に敏感なデバイスでは説明がつぎはぎになります。ここでは、エネルギー・スレッド理論（EFT）の視点で言い換えます。世界をエネルギーの海（Energy Sea）として捉えると、同一の「縁模様」をもつ二つのさざ波を同じ「巣」（同一モード）に入れようとしたとき、表面はなめらかに縫い合わせるか折り目を強いるかを選び、その違いが観測量に現れます。最後に、実験で掴める指標と、既存パラダイムへの圧力点をまとめます。

I. 従来説明の最小限の整理

• 「同じ状態を共有するか避けるか」は、同一粒子の交換で多体系の量子状態の符号がどう変わるか、そしてスピンの種類に結びつけられてきました。交換に対して偶の状態はボース的に、奇の状態はフェルミ的に振る舞います。
• これは予言力も検証可能性も備えますが、イメージがつかみにくいのが難点です。二次元のエニオン、複合粒子、環境・境界の効果を説明するには、その都度パッチが要ります。

II. どこで齟齬が生じるか――直観とパッチのねじれ

• 直観の断絶。 「符号が変わる／変わらない」が、なぜ「同じモードで同居したい／したくない」に変わるのか。多くの読者は抽象規則の段階で止まります。
• 二次元での編み上げ。 二次元では統計がボースとフェルミの間を連続的に行き来します。一般には位相幾何を持ち込みますが、日常的直観からは遠くなります。
• 複合と非理想ボース。 フェルミオンの対はボース的に振る舞えますが、強い重なりでは「理想的な共有」から逸脱し、説明が複雑化します。
• 環境と境界。 デバイスの向き、応力テクスチャ、縁の粗さは小さく再現性あるズレを生み、単一の図式に載せにくくします。

III. エネルギー・スレッド理論による言い換え

ひとことで言えば。 エネルギーの海（Energy Sea）を思い浮かべます。各微視的励起は、固有の「縁模様」をもつ細かなさざ波です。二つの同一さざ波が同じ小さな巣（同一モード）に入ろうとすると、海はなめらかに縫うか折り目を強いるかを決めます。

• 完全な位相一致（ボース的外観）：縁模様がファスナーのように噛み合い、新たな折り目は不要です。同じ形がそのまま高く積み上がります。これをなめらかな縫合と呼びます。
• 半拍の位相ずれ（フェルミ的外観）：重なり領域で模様が衝突します。海は結び目（折り目）を入れるか、一方のさざ波に形の変更／別の巣への移動を強います。これを強制的な折り目と呼びます。

1. ボース粒子が「同居しやすい」理由
   • 同じ巣、同じ形。 なめらかな縫合なら追加の折り目は不要で、局所的な曲率は増えません。共同の形が高くなるだけです。
   • 平均コストの低下。 占有が増えるほど、励起1つ当たりの曲率コストが下がります。同居は容易になり、コヒーレンス、誘導放出、凝縮が生じやすくなります。
2. フェルミ粒子が「互いに避ける」理由
   • 同じ巣では折り目が必要。 曲率が急になり、コストが上がります。
   • 最安の戦略。 占有を別々の巣に分けるか、一方のさざ波の模様（状態／向き／階層）を変えます。巨視的には排他原理のように見えます。
   • 要点。 新しい「見えない力」は不要で、同居に伴い折り目を入れる形状コストが原因です。
3. 二次元で編み上げが自然に現れる理由
   二次元では「回り込む」経路が豊富です。縫合は二択ではなく、両極の間に部分的になめらかな選択肢が並びます。観測される分数統計は、どれだけ平らに縫えるか／どれだけ折り目が不可避かを反映します。
4. 複合ボースの「非理想性」の意味
   • 二つの半拍ずれが対を組み、部分的に相殺されると、全体模様はよりなめらかに縫える（ボース的）外観になります。
   • 対どうしの重なりが強いと、残留のずれがにじみ出て、凝縮しきい値、占有プロファイル、コヒーレンス長がシフトします。原理は同じで、縫合にどれだけ折り目が要るかです。
5. 環境と境界を同一マップで読む
   • 向き、応力テクスチャ、縁の粗さは、縫合／折り目のコストを小さく、しかし再現性よく変化させます。
   • それらの微小変動は共通の背景テンション・マップに整列します。ゼロ次の安定した規則に、環境に依存する一次の緩やかなドリフトが重なります。

実験的な手がかり：何をどう測るか

• 同一モードへの積み増し vs. 席の譲り合い：冷却原子や光学キャビティで、占有増加にともなう同一モードへの入りやすさを追います。なめらかな縫合では高充填で入口が広がり、強制的な折り目では空きがあるときにのみ新規参入が起きがちです。
• バンチング vs. アンチバンチング：相関イメージングでは、なめらかな縫合のケースは集まりやすく、強制的な折り目のケースは散らばりやすい傾向が出ます。
• 縁での行列効果：極低温でも、ある系はさらなる圧縮に抵抗します。居住者を一人増やすには折り目の追加や模様変更が要り、コストが跳ね上がるためです。
• 「編み上げ×向き」の共通シグナル：量子ホール材料、トポロジカル超伝導体、モアレ系では、編み上げ測定とデバイスの向き／テクスチャの間に、弱いが再現性のある相関が期待されます。
• 複合ボースの非理想性カーブ：ボース＝アインシュタイン凝縮（BEC）—バーディーン＝クーパー＝シュリーファー（BCS）のクロスオーバーや高密度薄膜に沿って、対のサイズ／重なりを変えながら、凝縮しきい値、占有ピーク形状、コヒーレンス長を体系的に追跡します。いずれも同じ背景マップに参照します。

IV. 既存パラダイムへの圧力点

• 抽象規則から物理的表面へ。 「交換で偶奇が決まる」という表現を、「なめらかに縫うか、折り目を入れるか」というコストの可視化に置き換えます。
• 二次元は例外ではない。 分数統計は、交差・縫合の経路が増えるために現れます。別理論を持ち出す必然はありません。
• 複合粒子も同じマップに載る。 強い重なりでの「非理想性」は、残留ずれが縫合コストとして再登場することに他ならず、同一の背景と整合します。
• 環境効果を一枚の背景で。 向き・テンション・境界は、異なる測定にまたがって同じ縫合／折り目の台帳を動かすだけで、無関係なパッチは要りません。
• 新しい力は不要。 同居か排除かは、折り目を入れるコストから自然に導かれます。特注の斥力を仮定する必要はありません。

要するに

エネルギー・スレッド理論では、「ボースは同居しやすく、フェルミは避けやすい」違いの根は単純です。同一モードの共存が、エネルギーの海に折り目を強いるかどうか。

• なめらかな縫合（折り目なし）：同じ形が高く積み上がり、1粒子当たりのコストが下がり、ボース的シグネチャが立ちます。
• 強制的な折り目（コスト急増）：居住者は分散または再構成し、フェルミ的排他が現れます。

二次元の現象、複合粒子の逸脱、微小な環境ドリフトは、すべて同じマップ（縫合 vs. 折り目）で読み直せます。統計は抽象的なスローガンではなく、実験間で比較・再検証できる検証可能なパターンになります。